Das physikalische Größenlimit [Exkurs 2]

Es handelt sich hierbei um ein zwar alltägliches, aber trotzdem recht erstaunliches Phänomen. Es überrascht wohl darum, weil es eben so alltäglich ist. Beschrieben und mathematisch untermauert hat es als erster Galileo Galilei.

Angenommen wir besäßen eine Maschine, mit der wir Objekte nach Belieben vergrößern können. Geben wir zum Beispiel einen Zahnstocher auf der einen Seite in die Maschine, so kommt auf der anderen ein zugespitzter Holzbalken heraus, der eine exakte Vergrößerung seines Originals ist.

Einen Zahnstocher kann man an seiner Spitze zwischen die Fingernägel klemmen und ihn so waagrecht halten, ohne dass er Schaden dabei nimmt. (Bild N° 2) Würde ein Riese dasselbe mit dem Balken tun, so würde der Balken brechen.
Das erscheint zunächst einmal völlig unlogisch, aber mit etwas Physik ist das Problem leicht zu verstehen.

Die Stabilität eines eingeklemmten Holzstücks hängt in unserem Beispiel im Wesentlichen von zwei Faktoren ab: Dem Gewicht oder Volumen des Körpers, und seinem Querschnitt.
Angenommen unser Zahnstocher sei ein Holzstück vom 1mm x 1mm x 5cm. Sein Volumen ist also 50mm³, und sein Querschnitt 1mm². Ist der Balken 100 mal größer, so ist dessen Volumen 10cm x 10cm x 5m = 50.000.000mm³, sein Querschnitt 10000mm². Vergleicht man die Verhältnisse zwischen den Querschnitten und den Volumen, so ist zu erkennen, dass beim Balken hundert mal mehr Material pro Quadratmillimeter der Querschnittsfläche kommt. Damit lässt sich das Brechen des Balkens erklären.

Zahnstocher: 50mm³ pro mm²
Balken: 5000mm³ pro mm²

Die Masse des Körpers hat kubisch zugenommen, der Querschnitt nur quadratisch.
Galileo hat so theoretisch errechnet, dass kein Baum höher als 90m werden kann.