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Feigenbaum-Diagramme interaktiv
Wenn man in eine geeignete Formel immer wieder das Ergebnis einsetzt, kann das Resultat gegen eine Zahl konvergieren. Erhöht man den Systemparameter, manifestieren sich abwechselnd zwei Werte. Nach einem weiteren Parameteranstieg kommen vier Werte heraus, die sich periodisch bei jedem Schritt abwechseln. Wenig später tritt erneut eine Bifurkation auf, usw. Ab einem kritischen Parameterwert verschwindet diese Ordnung; die Ergebnisse wechseln unvorhersagbar, hängen von minimalen Veränderungen der Nachkommastellen des Vorwertes ab.
→ B = ?, ↑ V = ?
Formel: $x_(n+1) = B*x_n*(1 - x_n)$
Verschieben Sie das Rechteck, verändern Sie die Größe mit dem roten Punkt und klicken Sie Zoom in. Mit dem blauen Kreis bestimmt man auf dem Graphen den Parameter B (x-Achse) und das Ergebnis V (y-Achse). Wenn Sie beim Zoomen zu wenige Punkte oder unsaubere Graphen erhalten, erhöhen Sie die Anzahl der Iteration und der versteckten Punkte. Dann aktualisieren (gedrehter Pfeil Button rechts).
System Parameter B
Iterator | 1. Bif. |
2. Bif. | 3. Bif. |
Verhältnis |
|---|---|---|---|---|
Verhulst | 3.000 | 3.445 | 3.540 | 4.684 |
Sinus | 2.019 | 2.130 | 2.156 | 4.269 |
Square | 0.749 | 1.251 | 1.370 | 4.218 |
May | 23.554 | 24.226 | 24.380 | 4.364 |
Logarithmus | 1.996 | 2.396 | 2.471 | 4.938 |
Cosinus | 4.174 | 4.272 | 4.294 | 4.445 |
Henon | 0.365 | 0.911 | 1.025 | 4.789 |
Das Bifurkations-Kaskaden-Szenario
Jede der Iteratorformeln enthält den Systemparameter B. In den Regionen der Ordnung konvergiert das Ergebnis der Iteration gegen einen bestimmten Grenzwert. Für jede Iterator-Formel gibt es spezifische B-Werte, bei denen Bifurkationen (Gabelungen) auftreten.
Aber für Feigenbaum-Diagramme einer bestimmten Klasse nichtlinearer Transformationen existiert eine universelle Größe, die man durch die folgende Rechnung erkennt:
Wenn man die Werte $b_1$, $b_2$, $b_3$ aufeinander folgender Bifurkationen mithilfe des blauen Punktes bestimmt hat und den Quotienten $(b_2 - b_1)/(b_3 - b_2)$ berechnet, bekommt man eine vom Iterator unabhängige Zahl. Das zeigt die Tabelle in der Spalte Verhältnis.
Je tiefer man in den Graphen hinein zoomt, desto mehr nähert man sich dem Grenzwert
δ = 4.669201..., bekannt als Feigenbaum-Konstante.
Chaos & Ordnung und... Fraktale!
Feigenbaum-Diagramme zeigen Regionen der Ordnung und des Chaos. Die Diagramm-Beispiele starten mit Ordnung, also mit eindeutigen Iterationsergebnissen. Mit steigendem Parameter B verzweigt der Graph zu zwei, vier, acht... Werten, die sich periodisch abwechseln. Im folgenden Chaosbereich sind keine Ergebnisse vorhersagbar; der Graph wird zu einer Punktwolke. Mitten im Chaos finden sich kleine Bereiche der Ordnung und beim Zoomen findet man Strukturen, die wie das ganze Bild aussehen. Das ist eine fraktale Eigenschaft! Ändert man die Ausrichtung der Diagramme erinnern die meisten Bilder an eine Baumstruktur.