Farn

Iterationen II - Hopalong

Hier betrachten wir die Martin-Attraktoren, die auch als Hopalong-Fraktale bekannt sind. Es handelt sich um sogenannte Orbit-Fraktale, die wieder durch einfache zweidimensionale Iterationsprozesse entstehen. Der Name Hopalong ist davon abgeleitet, dass die Bilder aus Punkten aufgebaut sind, die sich aus einer hüpfenden Bewegung rund um den Startpunkt im Zentrum ergeben. Der Entdecker dieser Hopalong-Fraktale ist Barry Martin von der Aston University in Birmingham. Im Jahre 1986 hat A.K. Dewdney die Hopalongs in der Zeitschrift "Scientific American" vorgestellt und in Deutschland wurden sie durch Artikel in der Zeitschrift "Spektrum der Wissenschaft" berühmt.

Der Algorithmus

Ein Bild wird abhängig von den drei Parametern a, b, und c berechnet. In Dewdneys Artikel findet man sinngemäß das folgende Programm:

INPUT num
INPUT a, b, c
x = 0
y = 0
PLOT(x, y)
FOR i = 1 TO num
xx = y - SIGN(x) * [ABS(b*x - c)]^0.5
yy = a - x
x = xx
y = yy

ABS ist die Absolutwert-Funktion. SIGN(x) ist das gleiche wie x/ABS(x). Falls x>0 ist, gilt SIGN(x) = 1, falls x<0 ist, SIGN(x) = −1 und für x = 0 ist das Ergebnis von SIGN(x) ebenfalls 0.

Nach einer bestimmten Punktezahl wird die Farbe gewechselt. Das Bild verändert sich meist nicht, wenn man den Ausgangspunkt ändert, dagegen tritt der Schmetterlingseffekt auf: Wenn man die Parameter nur ein wenig ändert, entsteht ein neues Bild, das nur sehr wenig Ähnlichkeit mit dem vorhergehenden hat.

Hopalong-Programm

Screenshot des Hopalong-Programms

Das Programm

Eine moderne Version dieses Programms steht zum Download zur Verfügung. Die Dateien für die Bilder der Galerie sind mit dabei.

Danksagung

Teile der Iterationsabteilungen wurden in Zusammenarbeit mit Henning Kopp erstellt.

Quick-Links

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