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Hofstadter Schmetterling
Der Hofstadter-Schmetterling ist eine fraktale Struktur, die an die Flügel eines Schmetterlings erinnert. Das Diagramm beschreibt das Energieniveau eines Elektrons in einem zweidimensionalen Gitter unter dem Einfluss eines magnetischen Feldes. Diese Struktur wurde 1976 vom US-amerikanischen Physiker Douglas R. Hofstadter entdeckt und ist ein zentrales Konzept in der Festkörperphysik und Quantenmechanik.
Image by Yasuyuki Hatsuda, Hosho Katsura and Yuji Tachikawa - Hofstadter's butterfly in quantum geometry,
New J. Phys. 18, 103023 (2016), © CC BY 3.0
Mathematische Beschreibung
Das Energieniveauschema ergibt sich aus der sogenannten Harper-Gleichung,
einer differenzengleichungsbasierten Beschreibung des Systems.
Physikalische Relevanz
Der Hofstadter-Schmetterling ist nicht nur ein mathematisch interessantes Phänomen,
sondern hat auch praktische Bedeutung in der Festkörperphysik,
insbesondere für topologische Isolatoren, Quanten-Hall-Effekte und Graphenstrukturen.
Nach der theoretischen Vorhersage gelang es 2013 mit Graphen-Supragitterstrukturen,
den Hofstadter-Schmetterling in realen Materialien nachzuweisen.
Dies ist ein faszinierendes Beispiel für die Verbindung
zwischen Quantenmechanik, Festkörperphysik und fraktaler Mathematik.
Butterfly Maschine
Die Benutzung ist weitgehend selbsterklärend. Starte mit Run. Nach Stop kann auch Next benutzt werden. Der mathematisch-physikalische Hintergrund ist sehr anspruchsvoll. Von Lars Huttar liegt jedoch ein Javascript vor, das die schnelle Berechnung mittels der Iteration von Polynomen ermöglicht. Hinzugefügt habe ich eine Farbgestaltung der Figur mit der Auswahl einer Palette und einer Hintergrundfärbung. Der Hintergrund-Farbdialog arbeitet mit pickr.js, bereit gestellt von Simon Reinisch über eine MIT-Lizenz. Außerdem habe ich den Faktor pt der Berechnung zum Parameter gemacht. Damit ergeben sich interessante Schmetterlingsfraktale, die aber nur im Fall pt = 2 die oben beschriebene physikalische Deutung besitzen. Der Faktor darf sogar während einer laufenden Berechnung verändert werden.
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