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Die Mandelbrot-Menge
Benoît B. Mandelbrot (1924–2010) war ein französisch-amerikanischer Mathematiker. Er leistete Beiträge zu einem breiten Spektrum mathematischer Probleme; besonders interessant ist hier seine Rolle als Vater der fraktalen Geometrie und seine Tätigkeit in der Chaostheorie. Unter anderem beschrieb er die Mandelbrot-Menge und prägte den Begriff Fraktal. Er selbst beeinflusste die Popularisierung seiner Arbeiten durch Bücher und Vorlesungen stark. Mandelbrot verbrachte den Großteil seiner Karriere in der zentralen Forschungseinrichtung von IBM. Später wurde er Sterling Professor für Mathematical Sciences an der Yale University.
Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise, und Rinde ist nicht glatt – auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade. — Benoît B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature
Die Mandelbrot-Maschine
Die Iterationsformel der Mandelbrot-Menge für die komplexe Ebene, die durch den Bildschirm dargestellt wird, lautet: \[ \begin{aligned} z_{n+1} &= z_n^2 + c \end{aligned} \] mit \( z_0 = 0 \) und \( c \) als Platzhalter für jeden Pixel des Bildschirms. Die Formel kann in ihre reellen und imaginären Komponenten zerlegt werden: \[ \begin{aligned} x_{n+1} &= x_n^2 - y_n^2 + c_x \\ y_{n+1} &= 2 x_n y_n + c_y \end{aligned} \] Zur Mandelbrotmenge als zugehörig werden die Punkte (Farbe schwarz) erachtet, für die die Iteration gegen einen festen Wert konvergiert, soweit man das nach Erreichen der vorgegeben maximalen Schrittzahl annehmen darf. Die Iteration wird dagegen gestoppt, wenn \( |z_n| > 2 \), da der Punkt \( c \) dann nicht mehr zur Mandelbrot-Menge gehören kann. Die farbigen Pixel gehören nicht zur Menge; die Farbe gibt die Geschwindigkeit der Divergenz an.
Steuerung der Maschine
Klicken Sie auf einen Punkt, um hinein zu zoomen, ziehen Sie den Bildschirm, um die Szene zu verschieben, und verwenden Sie Pinch-Gesten zum Hinein- oder Herauszoomen.